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    怎样做好做数学题数学题

    来源:http://www.luancen.com 发布时间:2019-10-09 点击数: 57

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      怎样做好数学题 同学们都会做数学题, 那么你们做数学题的感觉是什么呢?感兴趣还是很厌倦?为什么 有的题做起来就很顺利, 有的题却是看着题目熟悉就是做不下去呢?今天我们就来探讨一下 到底怎样才能做好数学题,让我们对做数学题越来越有兴趣。 第一,同学们根据自己做数学题的经验,想一想做数学题要经历几个环节呢? 1、学会审题。这一步骤中,一定要认真读题,注意解剖和联系。也就是通过读题确定已 知条件和未知条件,把条件的各个部分分开。如有需要,可画出图形,引入适当的符号标记 已知条件。 2、分析思路。关键是找出已知条件和结论之间的联系,确定解题时要利用的知识点,及 用什么样的数学思想和方法解题。 3、写出过程。在书写解题过程的时候,先确定关键步骤,再把一些小的步骤填全。有些 数学题的解答过程要遵循一定的惯例。如方程应用题,一般先设未知数再列方程解答;几何 问题需要添加辅助线的,一般先写出辅助线、做数学题及时反思。一道题完成以后应及时反思其解法的优缺点,思考是否还有其他解法,试 着改变一下已知条件或结论,做变式练习,等。 例 1:如图,一个含 45°角的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合, 过 E 点作 EF⊥AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点,试探究线段 AE 与 EF 的数量关系,并说明 理由。 H A D F B C E 分析:1、通过读题,已知条件可分为四类:①垂直,BH⊥BE,做数学题AE⊥EF;②相等线段, BH=BE,AB=BC=CD=DA;③角,∠BEH=45°,∠DCF=∠ECF=45°;④平行, AB∥CD,AD∥BC。要求的是 AE 与 EF 的数量关系。 2、AE 和 EF 看上去好像是相等,要说明这两条线段相等,可用的方法很多,通过分析图 形,首先应考虑三角形全等,且最好是△HAE≌△CEF。已知条件中垂直关系和平行关系都 可以转化为与角相关的条件,也就是说已知条件可以分为两大类:角的关系和边的关系,这 正是证明三角形全等所需要的。解法确定:利用三角形全等证明对应边 AE=EF。 3、解答过程的关键步骤是△HAE≌△CEF,这两个三角形全等所需要的条件是:∠AHE =∠ECF=45°,AH=CE,∠HAE=∠CEF。按顺序把每一步的条件、结论清楚地写出来 就可以了。 4、本题还可通过“角角边”证明△HAE≌△CEF,但相对复杂一些。 第二,谈一谈中考试卷中常见题型的解题策略。从各地近年的中考试卷来看,数学题 的题型主要包括:选择、填空、解答、作图、判断题等。不同的题型有不同的解法,下面 分别介绍一下。做数学题 (一)判断题很少出现,作图题中单纯的尺规作图也不多见,但经常会有一些与作图有 关的综合题。如: 例 2:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,8) ,点 B(6,8) 。 (1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点 P,使点 P 同时满足下列两个条件(要 求保留作图痕迹,不必写出作法) : 1)点 P 到 A,B 两点的距离相等; 2)点 P 到∠xOy 的两边的距离相等。 (2)在(1)中作出点 P 后,写出点 P 的坐标。 分析:本题第(1)问是一个尺规作图题,要求保留作图痕迹,不写作法,如图所示, 点 P 即为所求作的点;第(2)问根据(1)中所作的图来解答,设 AB 的中垂线交 AB 于 E, 交 x 轴于 F,由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x 轴,且 OF=3,∵OP 是坐标轴的角平分线) 。 (二)选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择 题的题型构思精巧,形式灵活,能较全面地考查学生的基础知识和基本技能,从而增大试卷 的容量和知识的覆盖面。 在题型分配上其所占比例最大, 故有效地掌握选择题的解法和技巧 是十分必要的,下面介绍几种常用方法。 1 1、例 3:函数 y= 2-x+ 中,自变量 x 的取值范围是( ) x-3 A. x≤2 B. x=3 C. x<2 且 x≠3 D. x≤2 且 x≠3 分析: 直接根据函数解析式有意义的条件: 分式分母不为零和二次根式的被开方数为非 ? ?2-x≥0 负数,即:? ,解得 x≤2,应选 A。 ?x-3≠0 ? 直接法。即从题设的条件、定义、公式等出发,经过推理和计算,从而找出正确的答案。 一般考查基本知识,这种类型的选择题最多。 a 2、例 4:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则反比例函数 y= 与正比例函数 y= x (b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) y y y y y -1 O 1 x O x O x O x O x C D a 分析:由二次函数图象可知 a>0,所以反比例函数 y= 的两分支在一、三象限,故可 x b 排除选项 C 和 D。又 c<0、- >0,所以 b<0,则 b+c<0,故正比例函数 y=(b+c)x 2a A B 经过二、四象限,排除选项 A。故选 B。 排除法。排除法是做选择题时最常用的一种方法,即通过对选项中错误选项的排除,从 而使正确的答案逐渐“浮出水面” 。 ?x2+2(x≤2) 3、例 5:若函数 y=? ,则当函数值 y=8 时,自变量 x 的值是( ?2x(x>2) ) A. ± 6 B. 4 C. ± 6或 4 D. 4 或- 6 分析:四个选项中 x 的值共有 3 个:± 6、4,把它们分别代入与 x 的范围相对应的函 数 y 中,就可验证出当 x=4 或- 6时,y=8。当 x= 6时,应代入 y=2x 中,y=2 6。故 选 D。 执果索因法。 即直接把选项作为答案代入题设中去检验, 或把题设条件代入结论中去检 验,从而得到正确答案。这种方法往往比直接法简洁快捷的多。 4、例 6:若 a<1,化简 (a-1)2-1=( ) A. a-2 B. 2-a C. a D. -a 分析:本题直接分析也可得出结论,但在 a<1 的范围内取特殊值验证会更快捷一些。 如取 a=0,则 (a-1)2-1=0,可排除选项 A、B,而选项 C、D 都正确。再取一个特殊 值,a=-1,此时, (a-1)2-1=1,化简后的值是 a 的相反数,故选项 D 正确。 特殊值法。用一个或几个满足一般条件的特殊值,通过简单的运算,避开繁琐的字母, 从而获得正确的答案,有事半功倍的效果。 解选择题还有其他的一些技巧,但因使用范围不大,这里就不一一介绍了。需要注意的 是, 这些方法并不是孤立的, 有时一道选择题可能需同时使用几种方法才能达到预定的目标。 因此,在练习中要不断尝试多种方法的综合运用,并选出最优的方法和技巧,这样才能在做 选择题时得心应手、运用自如! (三)填空题是标准化考试的重要题型之一,和选择题一样,它不需要写出解题过程, 所不同的是,它没有给出可供选择的答案,解填空题几乎无特殊方法可用。解答题的综合性 较强,难度最大,分值最高,并且需要给出详细的解答过程。下面重点介绍解决解答题时所 用的思想方法和解题策略。 1、转化的思想 所谓“转化”就是将未知的问题转化成我们已解决的问题,将复杂的问题转化成简单的 问题,也就是将“未知”的问题“已知化” , “复杂”的问题“简单化” 。转化思想是解决解 答题时常用的思想方法。面对千变万化的中考新题型,当我们的思维受阻时,运用思维转化 策略,换一个角度去思考问题,常常能打破僵局,解题中不断调整,不断转化,亦可使我们 少一些“山穷水尽”的尴尬,多一些“柳暗花明”的喜悦。 例 7:如图所示,在△ABC 中,BC=4,AC=2 3,∠ACB=60°,P 是 BC 上一点,过 点 P 作 PD∥AB,交 AC 于 D。问:点 P 在 BC 上何处时,△APD 的面积最大? A D B P C 分析:表面上看不出点 P 在什么位置时△APD 的面积最大,必须对这个问题进行转化, 最好是转化成二次函数的问题,利用二次函数的最值来解决。那么本题就应考虑把△APD 的面积表示成一个含 BP 或 PC 的函数关系式。 BP 或 PC 与△APD 的面积有什么联系呢?还 这里需要转化,结合已知条件∠ACB=60°,通过∠ACB 和 PC 之间的三角函数关系表示 出点 P 到 AC 的距离,也就是△APD 中 AD 边上的高。这样△APD 的面积就可以用一个含 AD、PC 的关系式来表示。接下来,必须把 AD 用 PC 表示出来这个问题方能解决,怎样转 PC AC-AD 化呢?它们之间的联系是 PD∥AB。通过 = 完成这个转化。经过多次转化,本 BC AC 3 题的解题思路是:利用△CPD∽△CBA,把 AD 用 PC(可设为 x)表示出来,AD=2 3- 2 3 1 3 x。再利用三角函数求出 AD 边上的高,为 PC?sin∠C= x。所以 S△APD= ?(2 3- x) 2 2 2 3 3 3 ? x=- x2+ x,当 x=2 时,即点 P 在 BC 中点时,△APD 的面积最大。 2 8 2 例 8:矩形 ABCD 中,BC=2,DC=4,以 AB 为直径的半圆 O 与 DC 相切于点 E,求阴 影部分的面积。 A O B D E C 分析:阴影部分是一个不规则的图形,其面积不能直接求出,应想办法把它转化成规则 的图形。见切点连圆心,连接 OE 交 DB 于点 F,△DEF 与△BOF 全等,△DEF 以点 F 为旋 转中心旋转可使两个三角形重合, 阴影部分的面积等于四分之一的圆的面积。 解答本题的基 本策略是通过构造图形把一个不规则的图形转化成一个规则的图形。 A O F D E C B 2、分类讨论的思想 有时把问题看成一个整体会无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明。分类讨 论正是这样一种思想,也是一种重要的数学方法,为了解决问题,将问题所涉及的对象不遗 漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到解决整个问题的目的。 例 9:如图所示,在直角坐标系中,点 A(2,0)在 x 轴上,点 P(x,2)在第一象限, 当 x 取何值时,△POA 为等腰三角形? y O A x 分析:把这个问题分成两类:OA 为腰和 OA 为底。①当 OA 为底边时,如图 1,等腰 △POA 顶角的顶点一定在线段 OA 的垂直平分线上,此时点 P 的坐标是(1,2) ,x=1;② 当 OA 为一腰时,又可分两种情况:如图 2,若 O 为顶角顶点,则另一底角的顶点一定在以 O 为圆心,OA 为半径的圆周上,这个圆周上横坐标为 2 的点在 y 轴上,不在第一象限,因 此这种情况不符合题意;如图 3,若 A 为顶角顶点,则另一底角的顶点一定在以 A 为圆心, AO 为半径的圆周上,这个圆周上横坐标为 2 的点正好是直线 与⊙A 的切点,此时点 P 的坐标是(2,2) ,x=2。综上所述,当 x=1 或 2 时,△POA 为等腰三角形。 2 y P 2 y 2 y P O (2,0) A x 图1 O (2,0) A x 图2 O (2,0) A x 图3 3、数形结合思想 数形结合思想是一种重要的思想, 有时力图用图形来直观体现数量的关系, 将抽象复杂 的数(量)用图形直观地表示出来,然后利用图形的性质(特征)来分析解决问题;有时力 图用数(量)来体现图形的关系,将图形的性质(特征)利用数(量)的关系来加以解决。 例 10: 已知: a>0, b<0, 且 a+b<0, 那么有理数 a、 b、 -a、 -b 的大小关系是__________。 (用“”连接) 分析:因为 a>0,b<0,且 a+b<0,根据有理数加法法则可得︱b︱>︱a︱。以形辅 数,在数轴上表示出 a、b、-a、-b 的位置关系,故 b<-a<a<-b。 b -a 0 a -b 例 11:某商场以每件 50 元的价格购进一种商品,销售中发现这种商品每天的销售数量 m (件)与每件的销售价格 x(元)满足一次函数,其图象如图所示。 (1)每天的销售数量 m(件)与每件的销售价格 x(元)的函数表达式是__________。 (2)求该商场每天销售这种商品的销售利润 y(元)与每件的销售价格 x(元)之间的 函数表达式; (3)每件商品的销售价格在什么范围内时,每天的销售利润 y 随着销售价格 x 的提高 而增加? 销售数量(m)件 100 销售利润(y)元 销售价格(x)元 销售价格(x)元 O 100 O -5000 50 75 分析: (1)题是利用数量关系表示图形性质,该图象是一次函数,利用待定系数法设其 为 m=kx+b,可求出 m=-x+100(0≤x≤100) , (2)题的已知条件除了每件进价 50 元, 其余条件全部由图象中获得。由图象可知,每件商品的利润为 x-50,所以每天的利润为: y=(x-50) (-x+100) ,∴函数解析式为 y=-x2+150x-5000, (3)本题中的数量关系 亦可结合图象来分析。画出该二次函数的草图,在 50<x<75 元时,则每天的销售利润 y 随 着销售价格 x 的提高而增加。 4、建模思想 这种解题思想就是综合运用各种知识和方法,依据问题给出的条件和结论给出的信息, 对问题进行适当的加工处理,构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题 思路的方法。 例 12:要对一块长 60m,宽 40m 的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化。 (1)设计方案如图 1 所示,矩形 P、Q 为两块绿地,其余为硬化路面。现要使 P、Q 两 1 块绿地周围的硬化路面的宽相等,并使两块绿地的面积之和为矩形 ABCD 面积的 。求 P、 4 Q 两块绿地周围的硬化路面的宽。 (2)某同学有如下设想:设计绿化区域为相外切的两等圆,圆心分别为 O1 和 O2,且 O1 到 AB、BC、AD 的距离与 O2 到 CD、BC、AD 的距离都相等,其余为硬化地面,如图 2 所示。这个设想能否成立?若成立,求出圆的半径;若不成立,请说明理由。 A D A D P B 图1 Q C B 图2 O1 O2 C 1 分析: (1)因为要使两块绿地的面积之和为矩形 ABCD 面积的 ,所以可根据这个等量 4 60-3x 关系建立数学模型(方程) 。设绿地周围路面的宽度为 xm,则 ?(40-2x)?2=60 2 1 ?40? 。化简得(20-x) (20-x)=100,解得 x1=10(m) ,x2=30(m) (不符合题意, 4 舍去) 。 (2)题和(1)题类似,可利用 O1、O2 到矩形三边相等为相等关系建立方程模型。 60-4r 40-2r 设⊙O1 和⊙O2 的半径为 r,则 = ,解得 r=10(m) 。本题的两问都是综合利用 2 2 了转化思想和建模思想把几何问题转化成代数中的方程问题。 怎样做好数学题?很难作出全面的回答。不过,同学们只要做好以下两点,那大家的 数学成绩一定会有所提高。一是牢固掌握基础知识,只有记清了概念、法则、定理、公式 等,才能在使用的时候信手拈来,想用什么有什么。二是勤学多练,只有多做练习,才会 熟能生巧,才会发现并积累解题方法,最终形成数学思想、提高解题能力。